SISTEM NUMERASI

BAB I

SISTEM NUMERASI

A.    PENDAHULUAN

Teori tentang bilangan telah menarik perhatian ilmuan selama ribuan tahun, paling sedikit sejak 2500 tahun yang lalu. Sebagai salah satu cabang matematika teori bilangan dapat disebut sebagai Aritmetika lanjut (Advenced Aritmetics) karena berkaitan dengan sifat-sifat bilangan asli.

Sistem numerasi adalah sekumpulan lambang dan aturan pokok untuk menuliskan bilangan. Lambang yang menyatakan suatu bilangan dinamakan numeral atau lambang bilangan.

Banyaknya suku bangsa di dunia menyebabkan banyaknya sistem numerasi yang berbeda-beda. Oleh karena itu suatu bilangan dapat dinyatakan dengan bermacam-macam lambang bilangan, tetapi suatu lambang bilangan hanya menunjukkan pada satu bilangan saja.

Sampai sekarang kita mengenal bermacam-macam sistem numerasi, diantaranya sistem numerasi Ijir, Mesir Furba, Babylonia, Alphabet Yunani, Cina-Jepang, Maya, Romawi, Attika dan Hindu Arab.

B.     SISTEM NUMERASI IJIR

Perhitungan yang paling terdahulu dan sederhana adalah perhitungan dengan memakai sistem korespondensi 1-1, sistem ini dinamakan sistem numerasi Ijir (Tally). Caranya dengan memakai goresan atau memakai tongkat untuk satu objek yang dihitung.

Contoh sistem numerasi Ijir :

a.       Bila seseorang memiliki 3 ekor sapi maka ia akan membuat goresan sebanyak 3 goresan atau dengan menyusun tongkat sebanyak 3 buah, yaitu :

b.      Jika dalam sebuah keluarga 3 ekor kambing ayangnya digabungkan dengan 4 ekor kabing anaknya maka mereka akan membuat goresan sebanyak 7 goresan atau menyusun tongkat sebanyah 7 buah, yaitu :

C.    SISTEM NUMERASI MESIR KUNO

Sekitar 3400 SM bangsa Mesir telah mengenal tulisan Hieroglyphcs (tulisan Mesir Kuno). Tulisan ini mereka tulis pada batu, papyrus, kayu, barang pecah belah dan lain sebagainya. Posisi atau tempat dari setiap lambang bilangan tidak mempengaruhi nilai dari suatu bilangan.

Lambang-lambangnya sebagai berikut :

1 = 10⁰ = tongkat (stroke)

10 = 10¹ = tulang tumit (heel bone)

100 = 10² = gulungan surat (scroll)

1000 = 10³ = bunga teratai (lotus flower)

10.000 = 10⁴ = jari telunjuk (a pointing pinger)

100.000 = 10⁵ = ikan burbot (burbot fish)

1.000.000 = 10⁶ = orang astronis (astronished man)

                        Contoh sistem numerasi Mesir Kuno :

a.       4 =

b.      22 =    atau  

c.       123 =       atau 

D.    SISTEM NUMERASI BABYLONIA

Bangsa Babylonia telah mengenal angka sekitar 2000 – 200 SM. Angka yang mereka gunakan hanya mempunyi dua lambang bilangan dasar yaitu :

             = 1   dan         = 10

Posisi dari setiap lambang bilangan tidak boleh dirubah karena akan mempengaruhi nilai dari bilangan tersebut. Dimana sistem numerasi ini merupakan sistem numerasi aditif yang dipadukan dengan sistem posisi (nilai tempat).

Tulisan Babylonia ini disebut juga Cunieform yang biasa ditulis pada tanah liat dengan menggunakan ujung tongkat.

Ada beberapa aturan yang harus diperhatikan dalam penulisan sistem numerasi Babylonia, diantaranya :

1.      Untuk menyederhanakan penulisan lambang bilangan, digunakan simbol pengurangan. Simbol tersebut adalah “           “

2.      Untuk bilangan yang lebih besar dari 60 digunakan bilangan dasar 60.

3.      Untuk menghindari kekeliruan dipakai tanda selang. Tanda selang tersebut adalah  “ ͝   “

Contoh sistem numerasi Babylonia :

a.       23 =

b.      37 =

c.       81 = 1. 60¹ + 20 + 1

            =

d.      62 =       ͝             = 1 . 60¹ + 2

e.       3602 =       ͝    ͝              = 1 . 60² + 0 . 60¹ + 2

f.       4000 =       ͝    ͝                                = 1 . 60² + 6 . 60¹ + 40

E.     SISTEM NUMERASI ALPHABET YUNANI

Sekitar tahun 450 SM bangsa Ionia dari Yunani telah mengembangkan suatu sistem numerasi yaitu Alphabet Yunani yang terdiri dari 27 hurup. Bilangan dasar yang mereka gunakan adalah 10.

Hurup-hurup alphabet tersebut mempunyai nilai-nilai sebagai berikut :

1   =  = alpha

2   =  = betha

3   =  = gamma

4   =  = delta

5   =  = epsilon

6   = ζ = obselet digamma

7   = ϟ = zetta

8   = η = etta

9  = θ = theta

10  =  ι = iota

20   =  κ = kappa

30   =  λ = lamda

40   =  μ = mu

50   =  ν = nu

60   = ξ = xi

70   =ο = omicron

80   =  π = pi

90   = ϙ = obselet kappa

100    =  ρ = rho

200    =  σ = sigma

300    =  τ = tau

400    =  υ = upsilon

500    =  φ = phi

600    = χ = chi

700    =  ψ = psi

800    =  ω = omega

900    =  Ϡ = obselet sampi

Ada beberapa aturan yang harus diperhatikan dalam penulisan sistem numerasi Alphabet Yunani, diantaranya :

1.      Untuk menyatakan ribuan, di atas sembilan angka dasar yang pertama dari α sampai θ dibubuhi tanda aksen ( ‘ ).

2.      Untuk kelipatan 10.000 dinyatakan dengan meletakkan angka yang bersangkutan di atas tanda M.

            Contoh sistem numerasi Alphabet Yunani :

a.       15 = ι ε

b.      726 = ψ κ ζ

c.       8000 = η’

d.      10.000 =

F.     SISTEM NUMERASI CINA

Angka tradisional Cina – Jepang menggunakan pengelompokkan dengan bilangan dasar 10. Di samping itu sistem angka ini juga mempunyai sistem pengelompokkan perkalian (multiplikatif).Keunikan dari sistem numerasi Cina yaitu penulisannya dari atas ke bawah.

Lambang-lambangnya sebagai berikut :

1 =    ─   = ichi/chi

2 =    ═   = ni/ji

3 =    ≡    = san/sam

4 =          = shi/su

5 =         = go

6 =           = roku

7 =           = shichi

8 =           = hachi

9 =           = kyu

10 =         = zu

100 =        = che pe

1000 =        = she chen

                        Contoh sistem numerasi Cina :

a.       5624 =          (lima)

                    (ribu)

                    (enam)

                    (ratus)

             ═     (dua)

                    (puluh)

                    (empat)

b.      4315 =           (empat)

               (ribu)

≡(tiga)

                     (ratus)

                     (puluh)

                     (lima)

Pada contoh 4315, koefisien puluhnya yaitu satu (1) tidak ditulis. Bilangan tersebut ditulis empat ribu tiga ratus puluh lima yang artinya sepuluh ditambah dengan lima. Sehingga dibaca empat ribu tiga ratus lima belas. 

G.    SISTEM NUMERASI MAYA

Sistem numerasi Maya ditemukan pertama kali oleh Franscisco de Cordoba pada tahun 1517 M di kota Mexico tepatnya di daerah Jukatan. Keistimewaan dari sistem numerasi Maya ini adalah telah memiliki lambang bilangan nol.

Lambang dari sistem numerasi Maya ini berupa garis dan noktah. Simbol-simbol dasar yang dipakai dalam sistem numerasi maya adalah sebagai berikut :

0           = 

1           =  •

2           =  ••

3           =  •••

4           =  ••••

5           = 

6           =  •

7           =  ••

8           =  •••

9           =  ••••

10       = 

11       =  •

12       = ••

13       =•••

14       =  ••••

15       = 

16       =  •

17       =  ••

18       =  •••

19       =  ••••

Ada beberapa aturan yang harus diperhatikan dalam penulisan sistem numerasi Maya, diantaranya :

1.      Untuk bilangan yang lebih kecil dari 19 dipakai bilangan dasar 20.

2.      Untuk bilangan-bilangan yang lebih besar lagi dipakai bilangan dasar : (18 . 20), (18 . 20¹), ... , (18 . 20ⁿ).

3.      Ditulis dari atas ke bawah.

Contoh sistem numerasi Maya :

a.       40 = 2 . 20 + 0 =  ••

b.      245 = 12 . 20 + 5 =  ••

c.       43.486 = 6 . (18 . 20²) + 0 . (18. 20¹) + 14 . 20 + 6 =  •

•••

•

H.    SISTEM NUMERASI ROMAWI

Sistem numerasi Romawi sudah ada sejak tahun 260 SM. Sistem numerasi Romawi yang ada sekarang merupakan modernisasi dari sistem yang lama. Misalnya lambang IV sistem lamanya . Sistem numerasi Romawi menggunakan bilangan dasar 10.

Lambang-lambang dasarnya adalah :

1               = I

10      = X

100    = C

1000  = M

5        = V

50      = L

500    = D

Ada beberapa aturan yang harus diperhatikan dalam penulisan sistem numerasi Romawi, diantaranya :

1.      Bila satu angka terdiri atas dua lambang dasar maka nilai bilangan yang ditunjukkan adalah :

·         Sama dengan jumlah nilai kedua bilangan itu jika lambang dari nilai yang paling tinggi terletak di sebelah kiri.

·         Sama dengan selisih nilai kedua bilangan itu jika lambang dari nilai yang paling tinggi terletak disebelah kanan.

·         Lambang bilangan yang sama jika ditulis berurutan paling banyak 3 angka.

2.      Pengurangan mempunyai aturan sebagai berikut :

·         I hanya dapat dikurangkan dari V dan X

·         X hanya dapat dikurangkan dari L dan C

·         C hanya dapat dikurangkan dari D dan M

3.      Untuk menuliskan bilangan yang lebih besar dipakai sistem perkalian yang ditunjukkan dengan tanda tertentu, yaitu :

·         Sebuah strip (ruas garis) di atas lambang bilangan tertentu menunjukkan nilai yang sama dengan 1000 kali nilai bilangan itu.

·         Dua buah strip di atas lambang bilangan tertentu menunjukkan nilai yang sama dengan sejuta kali bilangan itu.

Contoh sistem numerasi Romawi :

a.       VI    =  5 + 1 = 6

b.      IV    =  5 – 1 = 4

c.       40    =  50 – 10 = XL

d.      49    =  (50 – 10) + (10 – 1) = XLIX

e.             =  10 . (1.000) = 10.000

f.             =  50 . (1.000.000) = 50.000.000

I.       SISTEM NUMERASI ATTIKA

Sistem numerasi Attika berkembang sekitar abad ke-3 SM. Tulisan ini ditemukan di daerah reruntuhan Yunani yang bernama Attika. Lambang-lambangnya memakai bilangan dasar 10.

Lambang-lambangnya adalah :

 I     =  10⁰   = 1

     =  10¹   = 10

 H   =  10²   = 100

 X  =  10³   = 1000

 M   =  10⁴   = 10.000

                        Lambang bilangan untuk nol belum ada, yang ada adalah lambang yang digunakan sebagai penyingkat yaitu “ ┌  “  yang artinya 5.

                        Contoh numerasi Attika :

a.         =      = 50

b.           II  = 27

c.             = 55

d.      XXH IIII = 2.143

e.       MMXXX HHH     II = 63.729

J.      SISTEM NUMERASI HINDU ARAB

            Pada tahun 775 M wilayah kekuasaan Arab terpecah menjadi 2 wilayah yaitu wilayah bagian barat yang berpusat di Cordoba dan wilayah bagian timur yang berpusat di Bagdad.Dengan sendirinya perkembangan ilmu pengetahuan dan peradabannya berbeda termasuk tulisan arab dan numerasinya.       

            Sistem numerasi Arab yang kita kenal sekarang adalah yang berasal dari numerasi Arab wilayah bagian timur. Keistimewaan dari numerasi Atab ini adalah telah menggunakan sistem posisi dengan bilangan dasar 10. Walaupun penulisan dengan hurup Arab dari kanan ke kiri, tetapi untuk penulisan lambang bilangan tetap dari kiri ke kanan.

            Lambang-lambangnya adalah :

Hindu Arab	Arab Timur	Arab Barat
1	۱	ﺍ
2	۲	ג
3	۳	נ
4	٤	ל
5	۵	5
6	٦	6
7	۷	7
8	۸	8
9	۹	9
10	۱۰	۱۰

            Contoh numerasi Arab :

a.       234 = ۲۳٤

b.      2864 = ۲۸٦٤

c.       6589 =٦۵۸۹

SOAL LATIHAN :

1.      Ubahlah bilangan-bilangan di bawah ini ke dalam sistem numerasi berikut ini :

a.       Sistem Numerasi Ijir (Tally)

b.      Sistem Numeasi Mesir Kuno

c.       Sistem Numerasi Babylonia

d.      Sistem Numerasi Alphabet Yunani

e.       Sistem Numerasi Cina – Jepang

f.       Sistem Numerasi Maya

g.      Sistem Numerasi Romawi

h.      Sistem Numerasi Attika

i.        Sistem Numerasi Arab

12                         234                      1342                     32417

24                         135                      3421                     45325

45                         654                      4537                     54321

65                         456                      6789                     76589

98                         897                      9876                     98765

2.      Selesaikanlah penghitungan di bawah ini :

a.      +

b.      -

c.       Kurangkanlah      III dari      I

d.      Jumlahkanlah  I dengan  H I

e.     

f.      

g.    

h.